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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列名师课件 北师大版必修5

发布时间:

等比数列

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情景展示(1)

1

左图为国际象棋的棋盘,棋

2 3

盘有8*8=64格

4

国际象棋起源于印度,关

5

于国际象棋有这样一个传说,国

6

王要奖励国际象棋的发明者,问

7 8
上述棋盘中各格子里的 麦粒数按先后次序排成 一列数:
1 ,2 ,22 ,23 , ,263

他有什么要求,发明者说:“请 在棋盘上的第一个格子上放1粒麦 子,第二个格子上放2粒麦子,第 三个格子上放4粒麦子,第四个格 子上放8粒麦子,依次类推,直到 第64个格子放满为止。” 国王慷

慨地答应了他。你认为国王有能

1844,6744,0737,0955,1615 力满足上述要求吗?

猜一猜:
给你一张足够大的纸,假设 其厚度为0.1毫米,那么当你 把这张纸对折了51次的时候,
所达到的厚度有多少?
把一张纸折叠51次, 得到的大约是地球与
太阳之间的距离!

庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 意思:“一尺长的木棒, 每日取其一半,永远也 取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:
1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,… 2 4 8 16

某种汽车购买时的价格是36万元,每年 的折旧率是10%,求这辆车各年开始时的价 格(单位:万元)。
各年汽车的价格组成数列:
36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

回忆

什么是等差数列?

1, 3, 5, 7, 9…;

(1)

3, 0, -3, -6, … ;

(2)

1 10

,

2 10

,

3 10

,

4 10

,

??? .

(3)

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一 项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差,用d表示。

比较下列数列
(1) 1, 2, 22 , 23 ,

…… , 263

(2)

1, 1, 1, 1 , 2 4 8 16

……

(3)9,92,93,94,95,96, 97

(4)36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…
共同特点?从第2项起,每一项与前一项的比都
等于同一常数.

等比数列定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它 前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比 数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用 字母q表示。 (q≠0)

其数学表达式:

an ? q(n ? 2)或 an?1 ? q(n ? N *)

an?1

an

问:如果an+1=anq(n∈N+,q为常数),那么数列{an}是
否是等比数列?为什么?
答:不一定是等比数列。这是因为:(1)若an=0,等 式an+1=anq对n∈N恒成立,但从第二项起,每一项与 它前一项的比就没有意义,故等比数列中任何一项都 不能为零;(2)若q=0,等式an+1=anq,对n∈N仍恒 成立,此时数列{an}从第二项起均为零,显然也不符 合等比数列的定义,故等比数列中的公比q不能为零。
所以,如果an+1=anq(n∈N,q为常数),数列{an}不 一定是等比数列。



等差数列



等比数列

如果一个数列从第2 项起,每一项与前 一项的差都等于同

如果一个数列从第2 项起,每一项与它 前一项的比都等于

定 一个常数,那么这 同一个非0常数,那

义 个数列叫做等差数 么这个数列叫做等

列.这个常数叫做等 比数列. 这个常数

差数列的公差,用d 叫做等比数列的公

表示

比,用q表示.

注意:
1. 公比是等比数列,从第2项起,每一项与前 一项的比,不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列,它的公比是同一 个非零常数。

练*

1、判别下列数列是否为等比数列?

(1) 2, 1, 2 , 1 , ……



22

(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 …… 不是

(3)2, 2, 2, 2, … (4)1, 0, 1, 0 ……

是 不是

q

=

2 2

q =1

思考:等比数列中

(1)公比q为什么不能等于0?首项能等于0吗? (2)公比q=1时是什么数列?

(3)q>0数列递增吗?q<0数列递减吗?

说明:(1)公比q≠0,则an≠0(n∈N);
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列;

(3)

???aq1

? ?

0或 1

? ??0

a1 ?

? q

0 ?

1

?

{an

}递增;

???0a?1

? q

0 ?

或 1

???aq1

? ?

0 1

?

{an }递减;

q=1,常数列; q<0,摆动数列;

例1:求出下列等比数列中的未知项.

(1) 2. a, 8

(2) -4 , b, c,

解:(1)根据题意,得 (2)根据题意,得

a 2

?

8 a

解得

?b

? ?

-

4

?

c b

?1

? ?

2

?

c

?c b

解得

?b ? 2 ??c ? ?1

a=4或a=-4

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,

那么G叫做a与b的等比中项。G ? ? ab

等比中项

观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个 数就会成为一个等比数列:

(1)1,±3, 9 (3)-12,±6 ,-3

(2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

知识内容

小 结:
研究方法 思想方法

等比数列的概念。 类比

方程的思想。

名称

等差数列

等比数列

定义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2

起,每一项与前一项 项起,每一项与它前

的差等于同一个常数, 一项的比都等于同一

那么这个数列叫做等 个 常 数 ,那 么 这 个 数

差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这

等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列

表示

的公比,用q表示

数学式 子表示

an+1-an=d

通项公式 an = a1 +(n-1)d

an?1 ? q an
?

猜一猜?
如果等比数列 {an}的首项是a1 ,公比是q,那么 这个等比数列的第n 项an 如何表示?

∵ a2 ? q a3 ? q

a1

a2

∴ a2 ? a1 ? q

…… an ? q an?1

a3 ? a…2 ?…q ? a1 ? q2

an ? a1 ? qn?1 (等比数列通项公式)

(a1, q ? 0, n? N? )
当n=1时,a1 ? a1 ?n ? N *公式成立

想一想? 一般形式:an ? am ? qn?m

(n, m ? N ?)

证明:∵ a2 ? q a3 ? q

a1

a2

…… an ? q an?1

将等式左右两边分别相乘可得: 叠乘法推导

a2 ? a3 ……

an

??n?1?
? q ……q ? qn?1

a1 a2

an?1

化简得:

an ? qn?1 a1
此式对n=1也成立

即:an ? a1 ? qn?1 ∴ an ? a1 ? qn?1 (n ? N ? )

等比数列的通项公式练*1

求下列等比数列的第4,5项:
(1) 5,-15,45,…

an ? a1 ?qn?1

a4 ? 5 ? (?3)4?1 ? ?135, a5 ? 5 ? (?3)5?1 ? 405.

(2)1.2,2.4,4.8,…

a4 ? 1.2 ? 24?1 ? 9.6, a5 ? 1.2 ? 25?1 ? 19.2.

(3) 2 , 1 , 3 ,? 328

a4

?

2 ? ?? 3?

3 ?4?1 ?
4?

?

9, 32

a5

?

2 ? ?? 3?

3 ??5?1 4?

?

27 128

,

(4 ) 2 ,1,
? a4 ? 2 ? ??
?

2 ,? 2

2 2

?4?1 ? ? ?

?

1 2

,

a5 ?

2 ? ??? ?

2 2

??? 5 ? 1 ?

?

2 ,
4

巩固 应用

例1在等比数列{an}中,已知

求an.

解:设等比数列{an}的公比为q,由题意得

???aa11qq52

? 20 ? 160

解得

?q ? 2

? ?

a1

?

5

因此,an ? 5 ? 2n?1

例题讲解 一般形式:an ? a1 ? qn?1 (n ? N ?)
推广:an ? am ? qn?m (n ? N ?)
变形1、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形 2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形3、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
求q的值.
变形4、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an
=1/2,求n.

世界杂交水稻之父—袁隆*
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多 亩,增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ,并认为是解决
下个世纪世界性饥饿问题的法宝。

巩固 应用
例2 袁隆*在培育某水稻新品种时,培育出第一代
120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5代时大 约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两位有 效数字)?
解: 由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍,
? 因此,逐代的种子数组成等比数列,记为 an ?
其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120 ?120 5?1? 2.5?1010
答:到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.

练一练

1.某种细菌在培养过程中,每半个小时分裂一次 (一个分裂为两个),经过4小时,这种细菌由一 个可繁殖成_2_5_6个?

2.已知等比数列的通项公式an

?

1 4

?10n

( 5 )公比为(10)。

2

,求首项为

3.在等比数列中,已知首项为 9 ,末项为 1 ,公比

n 为 2 ,则项数

8
等于( 4 )

3

3

归纳:

数列

等差数列

定义式 公差(比) 定义变形 通项公式 一般形式

an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d

等比数列
an?1 an ? q
q叫公比
an+1=an q an=a1qn-1 an=amqn-m

例题讲解
例3 已知{an}{bn}是项数相同的等比数
列,试证{anbn}是等比数列.
变形1:已知{an}、{bn}为等比数列,c是非零常
数,则{can}、{an+c}、{an+bn}是否为等比数列?
变形2:已知{an} 为等比数列,问a2,a4,a6,…是
否为等比数列?
变形3:已知{an} 为等比数列,问a10,a20,a30,…是
否为等比数列?




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